问题
多项选择题
设f(x)在[a，b]上二阶可导，f(a)=f(b)=0且满足方程f"(x)+cosf＇(x)=ef(x)，证明f(x)在[a，b]上恒为零．
答案
参考答案：[分析与证明] 一般对这类题采用反证法．
反证，设f(x)在[a，b]上不恒为0，因f(x)在[a，b]连续，所以存在最大值M和最小值m，则M和m中至少有一个不为端点的函数值f(a)=f(b)=0，即M≠0或m≠0．若M≠0则M＞0，M在(a，b)内取得，即存在x0∈(a，b)使f(x0)=M，f(x0)=M也为极大值，由取得极值的必要条件有f＇(x0)=0，代入原方程．有
f"(x0)+cosf＇(x0)=ef(x0)即f"(x0)+A=ef(x0)，
于是有 f"(x0)=ef(x0)-A=eM-A＞0 (因M＞0) (A)，
由取得极值的第二充分条件，(A)式表明f(x0)为f(x)的极小值，这与f(x0)为f(x)的极大值矛盾．
同理，如果m不为端点的函数值f(A)=f(b)=0，即m≠0，则m＜0，也就是存在x0∈(a，b)使f(x0)=m为极小值，因此，f＇(x0)=0，于是有
f"(x0)=ef(x0)-A=em-A＜0 (∵m＜0) (B)，
由取得极值的第二充分条件，(B)式表明f(x0)为f(x)的极大值，这与f(x0)为f(x)的极小值矛盾．
从而证明了f(x)在[a,b]上恒为零.