问题
解答题
过点M（2，4）作两条互相垂直的直线，分别交x轴y轴的正半轴于A、B，若四边形OAMB的面积被直线AB平分，求直线AB的方程．
答案
由题意，设A（a，0）、B（0，b）．则直线AB方程为
+x a
=1（a＞0，b＞0）y b
∵MA⊥MB，∴
×4-0 2-a
=-1，化简得a=10-2b．4-b 2-0
∵a＞0，∴0＜b＜5．直线AB的一般式方程为bx+ay-ab=0
∴点M（2，4）到直线AB的距离为d1=
．|2b+4a-ab| a2+b2
又∵O点到直线AB的距离为d2=
，∵四边形OAMB的面积被直线AB平分，|-ab| a2+b2
∴d1=d2，∴2b+4a-ab=±ab．
又∵a=10-2b．
解得
或a=2 b=4
，a=5 b= 5 2
∴所求直线为2x+y-4=0或x+2y-5=0．