问题
解答题
已知 f(x)=cos2x+2
（1）求 f（x）的最大值 M 和最小正周期 T； （2）求 f（x）的单调减区间； （3）20个互不相等的正数 an满足f（an）=M，且an＜20π（n=1，2，…，20）， 试求：a1+a2+…+a20的值． |
答案
f(x)=cos2x+2
sinxcosx=3
sin2x+cos2x=2sin(2x+3
)（2分）π 6
（1）M=2，T=
=π；（4分）2π 2
（2）∵y=sinx的单调减区间为[2kπ+
，2kπ+π 2
](k∈Z)（5分）3π 2
由2kπ+
≤2x+π 2
≤2kπ+π 6
，k∈Z得kπ+3π 2
≤x≤kπ+π 6
，k∈Z（7分）2π 3
∴函数f（x）的单调减区间为[kπ+
，kπ+π 6
](k∈Z)（8分）2π 3
（3）∵f（an）=M=2，∴2an+
=2kπ+π 6
⇒an=kπ+π 2
，(k∈Z)（10分）π 6
又∵0＜an＜20π，∴k=0，1，2，，19
∴a1+a2++a20=(1+2++19)π+20×
=π 6
+19×20π 2
=10π 3
．（13分）580π 3