问题
解答题
已知函数f（x）=ln
（1）判断f（x）的奇偶性； （2）猜测f（x）的周期并证明； （3）写出f（x）的单调递减区间． |
答案
（1）由
=sinx+cosx sinx-cosx
＞0，可得 tanx＜-1 或tanx＞1，cosx=0．tanx+1 tanx-1
∴x＞kπ+
，或x＜kπ-π 4
，或 x=2kπ±π 4
，k∈z，π 2
故函数的定义域为（kπ+
，kπ+π 4
）∪（ kπ-π 2
，kπ-π 2
），或x=2kπ±π 4
，k∈z，故定义域关于原点对称．π 2
∵f（ x）=ln
，∴f（-x）=ln tanx+1 tanx-1
=ln -tanx+1 -tanx-1
=-ln tanx -1 1+ tanx
=-f（ x），tanx+1 tanx-1
故函数f（ x）为奇函数．
（2）由于tanx的周期等于π，故f（x）的周期等于π，证明如下：
∵f（π+x）=ln
=ln tan(π+x) +1 tan(π+x) -1
=f（ x），故函数f（ x）的周期等于π．tanx+1 tanx-1
（3）f（x）的单调递减区间即函数t=
=1+tanx+1 tanx-1
的减区间，即tanx＜-1 或tanx＞1 时的增区间，2 tanx-1
故f（x）的单调递减区间为（kπ+
，kπ+π 4
），（ kπ-π 2
，kπ-π 2
）．π 4