问题
解答题
已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+2
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及其单调递减区间； （Ⅱ）在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，又a=2，f(A)=1+
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答案
（Ⅰ）∵f(x)=(sinx+cosx)2+2
cos2x3
=sin2x+cos2x+2sinx•cosx+
(1+cos2x)（2分）3
=1+
+(sin2x+3
cos2x)=1+3
+2sin(2x+3
)（4分）π 3
所以函数f（x）的周期为π．（5分）
由2kπ+
≤2x+π 2
≤2kπ+π 3
，k∈Z3π 2
解得 kπ+
≤x≤kπ+π 12
，7π 12
故函数f（x）的单调减区间是[kπ+
，kπ+π 12
](k∈Z)．（7分）7π 12
（Ⅱ）∵f(A)=1+
=1+3
+2sin(2A+3
)，π 3
则sin(2A+
)=0，π 3
因为0＜A＜
，所以π 2
＜2A+π 3
＜π 3
，4π 3
所以2A+
=π．则A=π 3
．（10分）π 3
又 a=2，由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，得4=（b+c）2-2bc-2bccosA，
因为bc=
，所以b+c=3，则△ABC的周长等于5．（13分）5 3