问题 填空题
在数学中“所有”一词,叫做全称量词,用符号“∀”表示;“存在”一词,叫做存在量词,用符号“∃”表示.设f(x)=
x2-3x+3
x-2
(x>2)
,g(x)=ax(a>1,x>2).
①若∃x0∈(2,+∞),使f(x0)=m成立,则实数m的取值范围为______;
②若∀x1∈(2,+∞),∃x2∈(2,+∞)使得f(x1)=g(x2),则实数a的取值范围为______.
答案

①由f(x)=

x2-3x+3
x-2
=
(x-2)2+(x-2)+1
x-2
=(x-2)+
1
x-2
+1,

因为x>2,所以由基本不等式得f(x)=(x-2)+

1
x-2
+1≥2
(x-2)⋅
1
x-2
+1=3,

所以函数f(x)的值域是[3,+∞),所以要使∃x0∈(2,+∞),使f(x0)=m成立,则m≥3,

即实数m的取值范围为[3,+∞).

②因为a>1,x>2,所以g(x)≥a2,由①知f(x)的值域是[3,+∞),

所以要使∀x1∈(2,+∞),∃x2∈(2,+∞)使得f(x1)=g(x2),

则有a2≤3,解得1<a≤

3
,即实数a的取值范围为(1,
3
].

故答案为:①[3,+∞),②(1,

3
].

单项选择题