问题
填空题
在数学中“所有”一词,叫做全称量词,用符号“∀”表示;“存在”一词,叫做存在量词,用符号“∃”表示.设f(x)=
①若∃x0∈(2,+∞),使f(x0)=m成立,则实数m的取值范围为______; ②若∀x1∈(2,+∞),∃x2∈(2,+∞)使得f(x1)=g(x2),则实数a的取值范围为______. |
答案
①由f(x)=
=x2-3x+3 x-2
=(x-2)+(x-2)2+(x-2)+1 x-2
+1,1 x-2
因为x>2,所以由基本不等式得f(x)=(x-2)+
+1≥21 x-2
+1=3,(x-2)⋅ 1 x-2
所以函数f(x)的值域是[3,+∞),所以要使∃x0∈(2,+∞),使f(x0)=m成立,则m≥3,
即实数m的取值范围为[3,+∞).
②因为a>1,x>2,所以g(x)≥a2,由①知f(x)的值域是[3,+∞),
所以要使∀x1∈(2,+∞),∃x2∈(2,+∞)使得f(x1)=g(x2),
则有a2≤3,解得1<a≤
,即实数a的取值范围为(1,3
].3
故答案为:①[3,+∞),②(1,
].3