参考答案：对实数t，(tA+B)^T=tA^T+B^T=tA+B，即tA+B是对称矩阵，由于A是正定矩阵，则A与E合同，即存在可逆矩阵C，使C^TAC=E．
又因为(C^TBC)^T=C^TBC，于是实对称矩阵C^TBC，可经过正交变换化为对角形A，即存在正交矩阵Q，使
Q^T(C^TBC)Q=Q^-1(C^TBC)Q=A
令P=CQ，则|P|=|C||Q|≠0，即P可逆，且
P^T(tA+B)P=tQ^TC^TACQ+Q^TC^TBCQ
=tQ^TEQ+Λ=tE+Λ．
于是[*]
由于存在t使得t+λ_i＞0(i=1，2，…n)即存在t使tA+B与对角矩阵相似且其特征值都大于零从而tA+B是正定矩阵．
[考点] 证明矩阵的正定性