∵y=

3

2

cosx+

1

2

sinx=sin（x+

π

3

），

∴其最小正周期T=2π；

由2kπ-

π

2

≤x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z得2kπ-

5π

6

≤x≤2kπ+

π

6

，k∈Z，

∴y=

3

2

cosx+

1

2

sinx的单调递增区间为[2kπ-

5π

6

，2kπ+

π

6

]，k∈Z．

同理可得y=

3

2

cosx+

1

2

sinx的单调递减区间为[2kπ+

π

6

，2kπ+

7π

6

]，k∈Z．

由x+

π

3

=2kπ+

π

2

，k∈Z得x=2kπ+

π

6

，即当x=2kπ+

π

6

时，y=

3

2

cosx+

1

2

sinx取得最大值1；

x+

π

3

=2kπ-

π

2

，k∈Z得x=2kπ-

5π

6

，即当x=2kπ-

5π

6

时，y=

3

2

cosx+

1

2

sinx取得最小值-1；

∴y=

3

2

cosx+

1

2

sinx取得最大值时，相应的x的集合为{x|x=2kπ+

π

6

，k∈Z}；

y=

3

2

cosx+

1

2

sinx取得最小值时，相应的x的集合为{x|x=2kπ-

5π

6

，k∈Z}．