问题
解答题
已知函数f(x)=
（1）证明：对∀x∈[1，+∞），f（x）＜g（x）恒成立； （2）n∈N*时，证明：
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答案
证明：（1）∵f(x)=
，外函数y=3x+1 3x+1-1
是减函数，内函数t=3x是增函数t+1 3t-1
∴f（x）在R上递减
∵g(x)=
在[1，+∞）上是增函数3x x+1
∴f（x）-g（x）在[1，+∞）是减函数
∴f（x）-g（x）≤f（1）-g（1）=-1＜0
（2）
+n 3n+1
＜n+1 3n+1-1
+n 3n
⇔n+1 3n+1
-n 3n+1
＜n 3n
-n+1 3n+1
⇔n+1 3n+1-1
＜-n 3n+1
⇔-(n+1) 3(3n+1-1)
＜3n+1 3n+1-1
已证3n n+1
∴
+n 3n+(-1)n-1
＜n+1 3n+1+(-1)n
+n 3n
（n为奇数时）n+1 3n+1
∴当n为奇数时，
+1 3+1
+…+2 32-1
+n 3n+1
＜(n+1 3n+1-1
+1 3
)+…+(2 32
+n 3n
)n+1 3n+1
由错位相减法可得：
+1 3
+…+2 32
=n+1 3n+1
-3 4
-1 4 • 3n
＜n+1 2 • 3n+1 3 4
当n为偶数时，所求
+1 3+1
+…+2 32-1
+n 3n-1
＜n+1 3n+1+1
+…+1 3+1
+n+1 3n+1+1
＜n+2 3n+2-1 3 4
綜上，原不等式成立，即
+1 3+1
+2 32-1
+…+3 33+1
+n 3n+(-1)n-1
＜n+1 3n+1+(-1)n 3 4