问题
问答题
设四元齐次线性方程组(Ⅰ)为
而另一四元齐次线性方程组(Ⅱ)的一个基础解系为
α1=(2，-1，a+2，1)T，α2=(-1，2，4，a+8)T
(1)求方程组(Ⅰ)的一个基础解系；
(2)当a为何值时，方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)有非零公共解在有非零公共解时，求出全部非零公共解．
答案
参考答案：(1)对方程组(Ⅰ)的系数矩阵作初等行变换，有
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得方程组(Ⅰ)的基础解系为
β1=(5，-3，1，0)T，β2=(-3，2，0，1)T。
(2)设γ是方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)的非零公共解，则
γ=x1β1+x2β2=-x3α1-x4α2
那么 x1β1+x2β2+x3α1+x4α4=0．
对系数矩阵A=(β1，β2，α1，α2)作初等行变换，有
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当a=-1时
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得基础解系
η1=(-1，-1，1，0)T，η2=(-4，-7，0，1)T
所以Ax=0的通解为
k1η1+k2η2=(-k1-4k2，-k1-7k2，k1，k2)T
故方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解
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