问题
问答题
设向量α1，α2…，αt，是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解，即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．
答案
参考答案：设有一组数k，k1，k2，…，kt．使得
[*]
上式两边同时左乘矩阵A，有
[*]
因为Aβ≠0，故[*]
由①式得[*]
由于向量组α1，…，αt，是基础解系，所以
k1=k2=…=kt=0．
因而，由②式得k=0．
因此，向量组β，β+α1，…，β+αt线性无关．
解析：[考点提示] 证明一组向量线性无关，最基本的方法是定义法．
[评注] 本题综合考查了基础解系的概念和向量组线性无关的判定，向量组的线性关系的判定常用定义法，并且一般要对等式k1α1+k2α2+…+knαn=0作恒等变形，常用技巧是在等式的两边同乘一个矩阵或向量以便利用已知条件．