已知对于n阶方阵A，存在自然数k．使得Ak=0，试证明：矩阵E-A为可

问题问答题

已知对于n阶方阵A，存在自然数k．使得A^k=0，试证明：矩阵E-A为可逆矩阵并求它的表达式(E为n阶单位矩阵)。

答案

参考答案：由代数公式1-a^k=(1-a)(1+a+…+a^k-1)以及A与E可交换，有
E-A^k=(E-A)(E+A+…+A^k-1)．而A^k=0，
故有(E-A)(E+A+…+A^k-1)=E．
可知E-A可逆，且有
(E-A)^-1=E+A+…+A^k-1

解析：[评注] 抽象矩阵可逆性的证明或求逆常用定义法，即设法得到等式AB=E．此时，A，B可逆，且互为逆矩阵．
[考点提示] 单位矩阵、逆矩阵．