参考答案：(1)杜某的行为构成保险诈骗罪。
根据《刑法》第198条规定，投保人、受益人故意造成被保险人死亡、伤残或者疾病，骗取保险金的，构成保险诈骗罪。本案中，杜某具有骗取保险金的故意。杜某在保险公司投保时就具备日后骗取保险金的主观目的。在投保以后，杜某作为投保人、被保险人和受益人，伙同他人故意造成自己伤残，企图骗取数额特别巨大的保险金，其行为已构成保险诈骗罪。
杜某的行为构成保险诈骗罪的未遂。
犯罪未遂是指已经着手实行犯罪，由于犯罪分子意志以外的原因而未得逞。保险诈骗罪是结果犯，但结果犯仅是就犯罪既遂标准而言的。已经着手实施保险诈骗，但因意志以外的原因未得逞的，系保险诈骗未遂。本案中，杜某意图通过使自己受到重伤的手段来达到骗取巨额保险金的目的。杜某已经报警并向保险公司谎称自己是被三名陌生男子砍去双脚，期望获得保险赔偿。这说明杜某已经着手实行保险诈骗。由于公安机关侦破此案，杜某并未获得保险金。由此，杜某的行为构成了保险诈骗罪的未遂。
杜某属于累犯。
累犯是指因故意犯罪被判处有期徒刑以上的犯罪分子，刑罚执行完毕或者赦免以后，在5年以内再犯应当判处有期徒刑以上刑罚之故意犯罪的犯罪人。杜某前后所犯两个罪即盗窃罪和保险诈骗罪都属于故意犯罪，且两罪都被判处有期徒刑以上刑罚。杜某再犯保险诈骗罪的时间在盗窃罪刑罚执行完毕后的5年以内。以上分析表明，杜某构成累犯。
以上杜某构成犯罪未遂和属于累犯都是法定的量刑情节。犯罪未遂可以比照既遂犯从轻或者减轻处罚，累犯应当从重处罚。综上，对于杜某应当根据保险诈骗罪并考虑两种法定量刑情节综合确定刑罚。
(2)黄某的行为构成故意伤害罪。
本案中，黄某对杜某实施了，暴力行为，用砍刀将杜某双下肢膝盖以下脚踝以上的部位砍断，造成杜某三级伤残，属于重伤。因此黄某的行为构成故意伤害罪。
黄某和杜某的行为构成共同犯罪。保险诈骗罪虽然由特殊主体构成，即投保人、被保险人或者受益人，以及保险事故的鉴定人、证明人、财产评估人。黄某与杜某有过事前通谋并且与杜某配合实施了致使杜某重伤的行为，具有帮助行为。黄某的主体身份特征不充足决定了其不能构成保险诈骗罪的实行犯，但不影响其成为保险诈骗罪的帮助犯。因此，黄某和杜某能构成保险诈骗罪的共同犯罪。此外，法律不能阻止任何人自伤、自残或自杀，更无法对任何实施自伤、自残或自杀行为的人设定并追究其刑事责任(除非法律有特别的规定，如军人战时自伤、自残以逃避义务的)。所以杜某的行为不构成故意伤害罪。因此黄某和杜某的行为也不能构成故意伤害罪的共同犯罪。