∵sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）∈[-

2

，

2

]，而1.5＞

2

，故A错误；

当x∈（0，

π

4

]时，sinx≤cosx，故B错误；

当x²+x=-1时，x²+x+1=0，但其△=1-4=-3＜0．故C不正确；

对于D：设f（x）=e^x-x-1，则f′（x）=e^x-1，

∴当x=0时，f′（x）=0，f（x）=0．

当x＞0时，f′（x）＞0，

∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，

∴f（x）＞f（0）=0．

∴对x∈（0，+∞），都有f（x）＞0，

∴e^x＞x+1．故D正确；

故选D．