∵函数f（x）对于∀x∈R都有f（1-x）=f（1+x）和f（1-x）+f（3+x）=0成立，
∴f（x+1）=-f（x+3），

∴f（x）=-f（x+2），
∴f[（x+2）+2]=-f（x+2）=f（x），
∴f（x）是以4为周期的函数，
∵当x∈[0，1]时，f（x）=x，

∴f（2013）=f（4×503+1）=f（1）=1．
故答案为：1．