参考答案：本题是考查向量组与方程组的综合题，计算量大，逻辑性强，是一道难度较高的题目，具有很好的区分度．
(Ⅰ)因4个三维向量必线性相关，使用定义，即存在不全为零的数k₁，k₂，k₃，k₄，使
k₁α₁+k₂α₂+k₃β₁+k₄β₂=0，
k₁，k₂不能均为零，否则会有k₃β₁+k₄β₂=0，由β₁，β₂线性无关，则k₃=k₄=0，这与题设k₁，k₂，k₃，k₄不全为零矛盾，从而，
[*]
由k₁，k₂不全为零，α₁，α₂线性无关，有
0≠ξ≠k₁α₁+k₂α₂=-k₃β₁-k₄β₂，
得证．
(Ⅱ)事实上问题转化为求解方程组．
构造k₁α₁+k₂α₂+k₃β₁+k₄β₂=0，即[*]
其中，[*]
当a≠4时，根据(*)，r((α₁　α₂　β₁　β₂))=3知，方程组①有无穷多解，基础解系由4-3=1个非零解向量组成，故①的通解为(k₁，k₂，k₃，k₄)^T=t(1，2，0，1)^T，则所求
ξ=-k₃β₁-k₄β₂=0β₁-tβ₂=t(1，-2，-5)^T，
其中t为任意非零常数．
当a=4时，根据(*)，r((α₁　α₂　β₁　β₂))=2知，方程组①有无穷多解，基础解系由4-2=2个线性无关的解向量组成，故①的通解为(k₁，k₂，k₃，k₄)^T=(-t₁+t₂，t₁+2t₂，t₁，t₂)^T，则所求
ξ=-k₃β₁-k₄β₂=t₁(2，-4，-7)^T+t₂(1，-2，-5)^T，
其中t₁，t₂不同时为零．