参考答案：本题考查抽象型矩阵的特征值与特征向量、正定等知识，是一道具有一定难度的逻辑推理题．
设A，B的特征值分别为λ_i，μ_i(i=1，…，n)，由已知条件，λ_i＞0，μ_i＞0，i=1，…，n．由于A为实对称矩阵，故一定存在正交矩阵P=(P₁，…，P_i，…，P_n)，使得
P^TAP=diag(λ₁，…，λ_i，…，λ_n)，
即A P_i=λ_iP_i，P_i为A的特征向量，i=1，…，n．
又由题设，P_i也是B的特征向量，故
BP_i=μ_iP_i，i=1，…，n，
因此AB P_i=Aμ_iP_i=(λ_iμ_i)P_i，即λ_iμ_i是AB的特征值，且λ_iμ_i＞0，i=1，…，n．
又 ABP=Pdiag(λ₁μ₁，…，λ_iμ_i，…，λ_nμ_n)，P^T=P^-1．
故 AB=Pdiag(λ₁μ₁，…，λ_iμ_i，…，λ_nμ_n)P^T，则AB为实对称阵，因此AB为正定矩阵．