参考答案：A+C

解析：本题考查多元函数的条件最值问题，是一道计算量较大的综合题．如果考生基础雄厚，还可以用线性代数中二次型的相关理论解决本题，见题后点评．
设辅助函数F(x，y，λ)=Ax²+2Bxy+Cy²+λ(x²+y²-1)，则[*]今[*]则
[*]
对于该方程组，(1)·x+(2)·y得到Ax²+2Bxy+Cy²+λ=0，即z+λ=0，只要求出λ，即可得到z的最值．
又(1)、(2)式可化为[*]是关于x，y的线性齐次方程组，由于x²+y²=1，该齐次方程组有非零解，则[*]，λ²+(A+C)λ+AC-B²=0，两根之和λ₁+λ₂=-(A+C)，即最大值与最小值之和为A+C．
[点评] 事实上，本题还有一个巧妙的解法，关键看考生能否想到线性代数中的一个重要结论：n元实二次型f=x^TAx在||x||=1时的最大值等于矩阵A的最大特征值，最小值等于矩阵A的最小特征值．
下面做详细分析．第一步，设f(x₁，x₂，…，x_n)=x^TAx是n元实二次型，λ₁，λ₂，…，λ_n是A的特征值，且λ₁≤λ₂≤…≤λ_n，我们可以证明：对于任一实n维列向量x，有λ₁x^Tx≤x^TAx≤λ_nx^Tx．
事实上，对于实二次型f=x^TAx，一定存在正交变换x=Qy．使得
[*]
由于λ₁，λ_n分别是A的最小和最大特征值，故有
[*]
即
λ₁y^Ty≤x^TAx≤λ_ny^Ty．
又因为Q为正交矩阵，于是有
x^Tx=(Qy)^T(Qy)=y^TQ^TQy=y^Ty．
故
λ₁x^Tx≤x^TAx≤λ_nx^Tx，
进一步变形可以得到[*]，而[*]，其中[*]是单位向量．
通过以上分析，显然可以得到结论：n元实二次型f=x^TAx在||x||=1时的最大值等于矩阵A的最大特征值，最小值等于矩阵A的最小特征值．
对于本题，Ax²+2Bxy+Cy²是二次型，在x²+y²=1的条件下，它的两个特征值就是该二次型的最大值与最小值，而其特征方程为[*]，即λ²+(A+C)λ+AC-B²=0，于是λ₁+λ₂=-(A+C)，即最大值与最小值之和为A+C．