问题
解答题
已知函数f(x)=ln(1+2x)+
（I）证明当a＜0时，∀x∈（0，+∞），总有f（x+1）＞f（x）； （II）若f（x）存在极值点，求a的取值范围． |
答案
（I）证明：求导函数可得f′（x）=
-2 1+2x a x2
∵a＜0时，x∈（0，+∞），∴f′（x）＞0
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增
∵x+1＞x＞0
∴f（x+1）＞f（x）；
（II）令f′（x）=0，可得
-2 1+2x
=0（x＞-a x2
）1 2
∵f（x）存在极值点，
∴
-2 1+2x
=0在x＞-a x2
时成立1 2
∴a=2x2 1+2x
x=0时，a=0，f（x）=ln（1+2x），函数不存在极值点；
x≠0时，a=
=2
+1 x2 2 x 2 (
+1)2-11 x
∵x＞-
，∴(1 2
+1)2-1＞01 x
∴
＞22 (
+1)2-11 x
∴a＞2．