问题
填空题
平面直角坐标系中,过原点O的直线l与曲线y=ex-1交于不同的A,B两点,分别过点A,B作y轴的平行线,与曲线y=lnx交于点C,D,则直线CD的斜率是______.
答案
设直线l的方程为y=kx(k>0),A(x1,y1),B(x2,y2)(x1>0,x2>0),
则C(x1,lnx1),D(x2,lnx2),
所以kx1=ex1-1⇒x1-1=lnkx1,kx2=ex2-1⇒x2-1=lnkx2,
所以直线CD的斜率kCD=
=lnx2-lnx1 x2-x1
=ln x2 x1 (lnkx2+1)-(lnkx1+1)
=ln x2 x1 lnkx2-lnkx1
=1,ln x2 x1 ln x2 x1
故答案为:1.