已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），若y=
（Ⅰ）已知函数f（x）=x3-2hx2-hx，若f（x）∈Ω1，且f（x）∉Ω2，求实数h的取值范围； （Ⅱ）已知0＜a＜b＜c，f（x）∈Ω1且f（x）的部分函数值由下表给出，
（Ⅲ）定义集合Φ={f（x）|f（x）∈Ω2，且存在常数k，使得任取x∈（0，+∞），f（x）＜k}，请问：是否存在常数M，使得∀f（x）∈Φ，∀x∈（0，+∞），有f（x）＜M成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，说明理由． |
（I）因为f（x）∈Ω1，且f（x）∉Ω2，
即g（x）=
=x2-2hx-h，在（0，+∞）是增函数，所以h≤0 …（2分）f(x) x
而h（x）=
=x-2h-f(x) x2
在（0，+∞）不是增函数，h x
又∵h′（x）=1+
，且h x2
当h（x）是增函数时，有h≥0，所以当h（x）不是增函数时，h＜0
综上，得h＜0 …（4分）
证明：（Ⅱ） 因为f（x）∈Ω1，且0＜a＜b＜c＜a+b+c，
所以
＜f(a) a
=f(a+b+c) a+b+c
，所以f（a）=d＜4 a+b+c
，4a a+b+c
同理可证f（b）=d＜
，f（c）=t＜4b a+b+c 4c a+b+c
三式相加得f（a）+f（b）+f（c）=2d+t＜
=44(a+b+c) a+b+c
所以2d+t-4＜0 …（6分）
因为
＜d a
，所以d（d b
）＜0 b-a ab
而0＜a＜b，所以d＜0
所以d（2d+t-4）＞0 …（8分）
（Ⅲ） 因为集合Φ={f（x）|f（x）∈Ω2，且存在常数k，使得任取x∈（0，+∞），f（x）＜k}，
所以∀f（x）∈Φ，存在常数k，使得 f（x）＜k 对x∈（0，+∞）成立
我们先证明f（x）≤0对x∈（0，+∞）成立
假设∃x0∈（0，+∞），使得f（x0）＞0，
记
=m＞0f(x0) x02
因为f（x）是二阶比增函数，即
是增函数．f(x) x2
所以当x＞x0时，
＞f(x) x2
=m，所以f（x）＞mx2f(x0) x02
所以一定可以找到一个x1＞x0，使得f（x1）＞mx12＞k
这与f（x）＜k 对x∈（0，+∞）成立矛盾 …（11分）
即f（x）≤0对x∈（0，+∞）成立
所以∀f（x）∈Φ，f（x）≤0对x∈（0，+∞）成立
下面我们证明f（x）=0在（0，+∞）上无解
假设存在x2＞0，使得f（x2）=0，
则因为f（x）是二阶增函数，即
是增函数f(x) x2
一定存在x3＞x2＞0，使
＞f(x3) x32
=0，这与上面证明的结果矛盾f(x2) x22
所以f（x）=0在（0，+∞）上无解
综上，我们得到∀f（x）∈Φ，f（x）＜0对x∈（0，+∞）成立
所以存在常数M≥0，使得∀f（x）∈Φ，∀x∈（0，+∞），有f（x）＜M成立
又令f（x）=-
（x＞0），则f（x）＜0对x∈（0，+∞）成立，1 x
又有
=f(x) x2
在（0，+∞）上是增函数，所以f（x）∈Φ，-1 x3
而任取常数k＜0，总可以找到一个xn＞0，使得x＞xn时，有有f（x）＞k
所以M的最小值 为0 …（16分）