设f(x)，g(x)可微，且f’(x)=g(x)，g’(x)=-f(x)，f(0)=

问题问答题

设f(x)，g(x)可微，且f’(x)=g(x)，g’(x)=-f(x)，f(0)=0，f’(0)=1，证明：f²(x)+g²(x)=1．

答案

参考答案：[详解] 令F(x)=f²(x)+g²(x)，
则 F’(x)=2f(x)f’(x)+2g(x)g’(x)
=2f(x)f’(x)-2f(x)f’(x)=0，
所以F(x)=C，由f’(x)=g(x)，f’(0)=1得g(0)=1，
所以F(0)=f²(0)+g²(0)=1，所以C=1．
即f²(x)+g²(x)=1．

解析：

[分析]：要证f²(x)+g²(x)=1，只要证明[f²(x)+g²(x)]’=0，则f²(x)+g²(x)=C，再由已知条件算出C=0．