设抛物线y=x2与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为

问题问答题

设抛物线y=x²与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为S，其中一条切线与抛物线相切于点A(a，a²)(a＞0)。
(Ⅰ) 求S=S(a)的表达式；
(Ⅱ) 当a取何值时，面积S(a)最小

答案

参考答案：(Ⅰ) 设另一个切点为[*]，则抛物线y=x²的两条切线分别为
L₁:y=2ax-a²，[*]
因为L₁⊥L₂，所以[*]，两条切线L₁，L₂的交点为[*]，y₁=ax₀，L₁，L₂及抛物线y=x²所围成的面积为
[*]
(Ⅱ) [*]，得[*]因为当[*]时，S’(a)＜0，当a＞[*]时，S’(a)＞0，所以当[*]时，面积S(a)取最小值。