问题
解答题
已知抛物线C：y2=4x，直线l：y=kx+b与C交于A，B两点，O为坐标原点．
（1）当k=1，且直线l过抛物线C的焦点时，求|AB|的值；
（2）当直线OA，OB的倾斜角之和为45°时，求k，b之间满足的关系式，并证明直线l过定点．
答案
（1）抛物线C：y2=4x的焦点为（1，0）
由已知l：y=x-1，设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立
，消y得x2-6x+1=0，y2=4x y=x-1
所以x1+x2=6，x1x2=1
|AB|=
=(x2-x1)2+(y2-y1)2 2
=(x2-x1)2 2
=8(x2+x1)2-4x1x2
（2）联立
，消x得ky2-4y+4b=0（*）（依题意k≠0）y2=4x y=kx+b
y1+y2=
，y1y2=4 k
，4b k
设直线OA，OB的倾斜角分别为α，β，斜率分别为k1，k2，
则α+β=45°，tan（α+β）=tan45°，
=1k1+k2 1-k1k2
其中k1=
=y1 x1
，k2=4 y1
，4 y2
代入上式整理得y1y2-16=4（y1+y2）
所以
-16=4b k
，即b=4k+4，16 k
此时，使（*）式有解的k，b有无数组
直线l的方程为y=kx+4k+4，整理得k（x+4）=y-4
消去
，即x+4=0 y-4=0
时k（x+4）=y-4恒成立，x=-4 y=4
所以直线l过定点（-4，4）