参考答案：(Ⅰ) 由[*]知，矩阵B的列向量是齐次方程组Ax=0的解向量．
记[*]，则 Aα₁=0=0α₁，Aα₂=0=0α₂．
所以λ=0是矩阵A的特征值(至少是二重)，α₁，α₂是λ=0的线性无关的特征向量．
根据∑λ_i=∑a_ii有0+0+λ₃=1+4+1，故知矩阵A有特征值λ=6．因此，矩阵A的特征值是0，0，6．
设λ=6的特征向量为α₃=(x₁，x₂，x₃)^T，那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，有
[*]解出α₃=(1，2，-1)^T．
对α₁，α₂正交化，令 β₁=(1，0，1)^T，则
[*]
再对β₁，β₂，α₃单位化，得
[*]
那么经坐标变换X=Qy，即
[*]
二次型化为标准形[*]．
(Ⅱ) 因为A～Λ，有A-3E～Λ-3E，进而(A-3E)⁶～(Λ-3E)⁶．又Λ-3E=[*]，所以由Q^-1AQ=Λ得Q^-1(A-3E)⁶Q=(Λ-3E)⁶=3⁶E．于是
(A-3E)⁶=Q(Λ-3E)⁶Q^-1=Q(3⁶E)Q^-1=3⁶E．
[*]