问题
问答题
已知向量β=(α1，α2，α3，α4)T可以由α1=(1，0，0，1)T，α2=(1，1，0，0)T，α3=(0，2，-1，-3)T，α4=(0，0，3，3)T线性表如。
(Ⅰ) 求α1，α2，α3，α4应满足的条件；
(Ⅱ) 求向量组α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组，并把其他向量用该极大线性无关组线
(Ⅲ) 把向量β分别用α1，α2，α3，α4和它的极大线性无关组线性表出。
答案
参考答案：(Ⅰ) β可由α1，α2，α3，α4线性表出，即方程组x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=β有解．对增广矩阵作初等行变换，有
[*]①
所以向量β可以由α1，α2，α3，α4线性表出的充分必要条件是：a1-a2+a3-a4=0．
(Ⅱ) 向量组α1，α2，α3，α4的极大线性无关组是：α1，α2，α3，而
α4=-6α1+6α2-3α3． ②
(Ⅲ) 方程组①的通解是
x1=a1-a2+2a3-6t，x2=a2-2a3+6t，x3=a3-3t，x4=t，其中t为任意常数，
所以β=(a1-a2+2a3-6t)α1+(a2-2a3+6t)α2+(a3-3t)α3+tα4，其中t为任意常数．
由②把α4代入，得
β=(a1-a2+2a3)α1+(a2-2a3)α2+a3α3．