问题
问答题
设xOy平面第一象限中有曲线Γ：y=y(x)，过点A(0，
)，y’(x)＞0．M(x，y)为，上任意一点，满足：弧段
的长度与点M处Γ的切线在x轴上的截距之差为
．
(Ⅰ) 导出y=y(x)满足的微分方程和初始条件；
(Ⅱ) 求曲线Γ的表达式．
答案
参考答案：(Ⅰ) 先求出Γ在点M(x，y)处的切线方程
y-y(x)=y’(x)(X-x)，
其中(x，y)是切线上点的坐标．在切线方程中令Y=0，得x轴上的截距
[*]
又弧段[*]的长度为[*]，按题意得
[*]①
这是积分、微分方程，两边对x求导，就可转化为二阶微分方程：
[*]
又由条件及①式得
[*]
因此得初值问题
[*]②
问题①与②是等价的．
(Ⅱ) 下面求解②．这是不显含x的二阶方程，作变换p=y’，并以y为自变量得
[*]
分离变量得[*]两边积分[*]得
[*]
由[*]时p=1[*]C’=0[*][*]，改写成[*]
将上面两式相减[*]
再积分得[*]
其中[*]则③就是所求曲线Γ的表达式．
[*]