动圆C过定点F(p2，0)，且与直线x=-p2相切，其中p＞0．设圆心C的轨迹Γ

问题解答题

动圆C过定点F(

，0)，且与直线x=-

相切，其中p＞0．设圆心C的轨迹Γ的程为F（x，y）=0
（1）求F（x，y）=0；
（2）曲线Γ上的一定点P（x₀，y₀）（y₀≠0），方向向量

=(y0，-p)的直线l（不过P点）与曲线Γ交与A、B两点，设直线PA、PB斜率分别为k_PA，k_PB，计算k_PA+k_PB；
（3）曲线Γ上的两个定点P₀（x₀，y₀）、Q0(x0′，y0′)，分别过点P₀，Q₀作倾斜角互补的两条直线P₀M，Q₀N分别与曲线Γ交于M，N两点，求证直线MN的斜率为定值．

答案

（1）过点C作直线x=-

的垂线，垂足为N，

由题意知：|CF|=|CN|，即动点C到定点F与定直线x=-

的距离相等，

由抛物线的定义知，点C的轨迹为抛物线，

其中F(

，0)为焦点，x=-

为准线，

所以轨迹方程为y²=2px（p＞0）；

（2）设 A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）

不过点P的直线l方程为y=-

x+b，

由

y2=2px

y=-

x+b

得y²+2y₀y-2y₀b=0，

则y₁+y₂=-2y₀，

kAP+kBP=

y1-y0

x1-x0

y2-y0

x2-x0

y1-y0

y2-y0

y1+y0

y2+y0

2p(y1+y2+2y0)

(y1+y0)(y2+y0)

=0．

（3）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），

则kMN=

y2-y1

x2-x1

y2-y1

y1+y2

（***）

设MP₀的直线方程为为y-y₀=k（x-x₀）与曲线y²=2px的交点P₀（x₀，y₀），M（x₁，y₁）．

由

y2=2px

y-y0=k(x-x0)

，y2-

2py0

-2px0=0的两根为y₀，y₁

则y0+y1=

，∴y1=

-y0

同理y0′+y2=

-k

，得y2=-

-y0′

∴y1+y2=-(y0+y0′)，

代入（***）计算得kMN=-

y0+y0′

．是定值，命题得证