问题
问答题
设f(x)在[0，1]上连续．
(Ⅰ)证明：至少存在一个ξ∈(0，1)，使得f(ξ)(1-ξ)=
(Ⅱ)若f(x)为可导函数且满足(1-x)f’(x)＞2f(x)，证明ξ是唯一的．
答案
参考答案：[证] (Ⅰ)令F(x)=(1-x)
(由分部积分得到)，则F(0)=F(1)，南罗尔定理，知存在ξ，使F’(ξ)=0，即f(ξ)(1-ξ)=
(Ⅱ)令φ(x)=f(x)(1-x)-
则
φ’(x)=f’(x)(1-x)-f(x)-f(x)=f’(x)(1-x)-2f(x)＞0，
即φ(x)严格单调增加，所以ξ必唯一．