问题
解答题
已知动点P到直线x=-1的距离与到定点C(
（Ⅰ）求曲线C的方程； （Ⅱ）设过点A（-4，0）的直线与曲线C交于E、F两点，定点A'（4，0），求直线A'E、A'F的斜率之和． |
答案
（Ⅰ）由题意知，动点P到定点C(
， 0)的距离等于到定直线x=-1 2
的距离，1 2
所以动点P的轨迹为抛物线，
且
=p 2
，1 2
P=1．
所以点P的轨迹方程为y2=2x．…（6分）
（Ⅱ）设过点A的直线方程为y=k（x+4）（k≠0）．
联立方程组
，y=k(x+4) y2=2x
消去x，得
y2-y+4k=0．…（8分）k 2
设E（x1，y1）、F（x2，y2），
则y1•y2=8，且y12=2x1，y22=2x2．
∵kA′E=
，kA′F=y1 x1-4
，y2 x2-4
∴kA′E+kA′F=
+y1 x1-4
=y2 x2-4 y1x2-4y1+y2x1-4y2 (x1-4)(x2-4)
=y1
-4y1+y2y 22 2
-4y2y 21 2 (x1-4)(x2-4)
=
．(y1+y2)(
-4)y1 y 2 2 (x1-4)(x2-4)
由y1•y2=8，得kA'E+kA'F=0．…（14分）