问题
问答题
已知3阶矩阵A与3维列向量α，若α，Aα，A2α线性无关，且A3α=3Aα-2A2α，试求矩阵A的特征值与特征向量．
答案
参考答案：[解法一] 由于A3α+2A2α-3Aα=0，有
A(A2α+2Aα-3α)=0=0(A2α+2Aα-3α)．
因为α，Aα，A2α线性无关，故必有A2α+2Aα-3α≠0．所以λ=0是A的特征值，而k1(A2α+2Aα-3α)(k1≠0)是矩阵A属于特征值λ=0的特征向量．
类似地，由A3α+2A2α-3Aα=0，有
(A-E)(A2α+3Aα)=0=0(A2α+3Aα)，
(A+3E)(A2α-4α)=0=0(A2α—Aα)．
所以，λ=1是A的特征值，而k2(A2α+3Aα)(k2≠0)是属于λ=1的特征向量；λ=-3是A的特征值，而k3(A2α-Aα)(k3≠0)是属于λ=-3的特征向量．
[解法二] 由A(α，Aα，A2α)=(Aα，A2α，A3α)=(Aα，A2α，3Aα-2A3α)
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知
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由
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知矩阵B的特征值是0，1，-3，亦即A的特征值是0，1，-3．
由(0E-B)x=0得基础解系β1=(-3，2，1)T；
(E-B)x=0得基础解系β2=(0，3，1)T；
(-3E-B)x=0得基础解系β3=(0，-1，1)T．
如Bβ=λβ 有(P-1AP)β=λβ，即A(Pβ)=λPβ．所以
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分别是矩阵A属于特征值0，1，-3的特征向量．
解析：
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