问题
问答题
设
(Ⅰ) 若矩阵A正定，求a的取值范围；
(Ⅱ) 若a是使A正定的正整数，求正交变换化二次型xTAx为标准形，并写出所用坐标变换．
答案
参考答案：[解] (Ⅰ) 由A的特征多项式
[*]
得到矩阵A的特征值是λ1=λ2=2-a，λ3=2a+2．
那么A正定[*]
(Ⅱ) 满足矩阵A正定的正整数a=1，那么[*]
此时，矩阵A的特征值是λ1=λ2=1，λ3=4．
对于λ=1，由(E-A)x=0，[*]
得到属于λ=1的特征向量 α1=(-1，1，0)T，α2=(-1，0，1)T．
对于λ=4，由(4E-A)x=0，[*]
得到属于λ=4的特征向量 α3=(1，1，1)T．
对α1，α2正交规范化处理，有
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得到
[*]
那么令
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则经x=Py，有[*]
解析：
[*]