问题
问答题
已知α1，α2，…，αt是齐次方程组Ax=0的基础解系，判断并证明α1+α2，α3+α3，…，αt-1+αt，αt+α1是否为Ax=0的基础解系．
答案
参考答案：[解] 由于A(α1+α2)=Aα1+Aα2=0，知α1+α2是Ax=0的解，同理α2+α3，…，αt+α1均是Ax=0的解．
若k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+…+kt(αt+α1)=0， 即
(k1+kt)α1+(k1+k2)α2+…+(kt-1+kt)αt=0．
因为α1，α2，…，αt是Ax=0的基础解系，它们线性无关，故必有
[*]①
由于系数行列式
[*]
当t=2k+1时，D≠0，方程组①只有零解，即α1+α2，α2+α3，…，αt+α1是Ax=0的n-r(A)个线性无关的解，从而是Ax=0的基础解系．
当t=2k时，D=0，方程组①有非零解，那么α1+α2，α2+α3，…，αt+α1线性相关，因而不是Ax=0的基础解系．