问题
问答题
设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是3维线性无关的列向量，其中α1是齐次方程组Ax=0的解，又知Aα2=α1+2α2，Aα3=α1-3α2+2α3．
(Ⅰ) 求矩阵A的特征值与特征向量；
(Ⅱ) 判断A是否和对角矩阵相似并说明理由；
(Ⅲ) 求秩r(A+E)．
答案
参考答案：[解] (Ⅰ) 据已知条件，有
[*]
记P=(α1，α2，α3)，[*]，由于α1，α2，α3线性无关，故P是可逆矩阵．于是有P-1AP=B，从而A和B相似．因为
[*]
所以矩阵B的特征值是2，2，0，亦即矩阵A的特征值是2，2，0．
对应于λ1=λ2=2，解齐次线性方程组(2E-B)x=0得基础解系ξ1=(1，2，0)T．如果Bα=λα，则(P-1AP)α=λα，有A(Pα)=λ(Pα)，那么[*]是矩阵A对应于特征值λ=2的特征向量．
又Aα1=0=0α1，知α1是矩阵A对应于特征值λ=0的特征向量．
从而矩阵A对应于λ1=λ2=2的特征向量是k1(α1+2α2)，k1≠0；
矩阵A对应于λ3=0的特征向量是k2α1，k2≠0．
(Ⅱ) 因为秩r(2E-B)=2，矩阵曰对应于λ1=λ2=2只有一个线性无关的特征向量，矩阵B不和对角矩阵相似，所以A不和对角矩阵相似．
(Ⅲ) 因为A～B，有A+E～B+E．从而r(A+E)=r(B+E)=3．