问题
问答题
设α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βt是两个线性无关的n维向量组，证明：向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt线性相关的充分必要条件是存在非0向量γ，γ既可由α1，α2，…，αs线性表出，也可由β1，β2，…，βt线性表出．
答案
参考答案：[证明] 必要性．因为α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt线性相关，故存在不全为0的k1，k2，…，ks，l1，l2，…，lt使得 k1α2+k2α2+…+ksαs+l1β1+l2β2+…+ltβt=0，令
γ=k1α1+k2α2+…+ksαs=-l1β1-l2β2-…-ltβt，则必有γ≠0．否则
k1α1+k2α2+…+ksαs=0 且-l1β1-l2β2-…-ltβt=0．
由于α1，α2，…，αs与β1，β2，…，βt均线性无关，故k1=k2=…=ks=0，l1=l2=…=lt=0，这与k1，k2，…，ks，l1，l2，…，lt不全为0相矛盾．从而有非0的γ，它既可由α1，α2，…，αs线性表出，也可由β1，β2，…，βt线性表出．
充分性．由于有非0的γ使
γ=x1α1+x2α2+…+xsαs 且γ=y1β1+y2β2+…+ytβt，
那么x1，x2，…，xs与y1，y2，…，yt必不全为0．从而
x1α1+x2α2+…+xsαs-y1β1-y2β2-…-ytβt=0，
即 α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt线性相关．