问题
问答题
设A是n阶反对称矩阵，
(Ⅰ) 证明对任何n维列向量α，恒有αTAα=0；
(Ⅱ) 证明对任何非零常数c，矩阵A+cE恒可逆．
答案
参考答案：[证明] (Ⅰ) 因为αTAα是1×1矩阵，是一个数，故
αTAα=(αTAα)T=αTAT(αT)T=-αTAα．所以恒有αTAα=0．
(Ⅱ) (反证法)．如果矩阵A+cE不可逆，则齐次方程组(A+cE)x=0有非零解，设其为η，则
Aη=-cη，η≠0．
左乘ηT，得 ηTAη=-cηTη≠0．
与(I)矛盾．故矩阵A+cE恒可逆．