参考答案：[证明] (Ⅰ) 由α₂，α₃，α₄，α₅线性无关，可知α₂，α₃，α₄线性无关，又因α₁，α₂，α₃，α₄线性相关，所以α₁可由α₂，α₃，α₄线性表出．
或者，由α₁，α₂，α₃，α₄线性相关知有不全为0的k₁，k₂，k₃，k₄，使
k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃+k₄α₄=0，
那么必有k₁≠0(否则有k₂，k₃，k₄不全为0而k₂α₂+k₃α₃+k₄α₄=0，于是α₂，α₃，α₄线性相关，这与α₂，α₃，α₄，α₅线性无关相矛盾)．从而
[*]，即α₂可由α₂，α₃，α₄线性表出．
(Ⅱ) 如果α₅=k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃+k₄α₄，由(Ⅰ)可设α₁=l₂α₂+l₃α₃+l₄α4，那么
α₅=(k₁l₂+k₂)α₂+(k₁l₃+k₃)α₃+(k₁l₄+k₄)α4，
这与α₂，α₃，α₄，α₅线性无关相矛盾，从而α₅不能由α₁，α₂，α₃，α₄线性表出．
(Ⅲ) 设α₂=(1，0，0，0)^T，α₃=(0，1，0，0)^T，α₄=(0，0，1，0)^T，α₅=(0，0，0，1)^T，那么当α₁=(1，1，1，0)^T时，α₂可由α₁，α₃，α₄，α₅线性表出；而当α₁=α₃时，α₂不能由α₁，α₃，α₄，α₅线性表出．