问题
问答题
已知α1，α2，α3是非齐次线性方程组3个不同的解，证明：
(Ⅰ) α1，α2，α3中任何两个解向量均线性无关；
(Ⅱ) 如果α1，α2，α3线性相关，则α1-α2，α1-α3线性相关．
答案
参考答案：[证明] (Ⅰ) (反证法)如果α1，α2线性相关，不妨设α2=kα1，那么
Aα2=A(kα1)=kAα1=kb．
又Aα2=b，于是k=1，与α1，α2不同相矛盾．
(Ⅱ) 如果α1，α2，α3线性相关，则有不全为0的k1，k2，k3使k1α1+k2α2+k3α3=0，那么
(k1+k2+k3)α1=k2(α1-α2)+k3(α1-α3)．
由于α1是非齐次方程组Ax=b的解，而α1-α2，α1-α3是齐次方程组Ax=0的解，α1不能由α1-α2，α1-α3线性表出，故必有 k1+k2+k3=0，那么
k2(α1-α2)+k3(α1-α3)=0．
此时k2，k3不全为0(否则亦有k1=0，与k1，k2，k3不全为0相矛盾)，故α1-α2，α1-α3线性相关．