参考答案：由A是实对称矩阵知A必可相似对角化，而当A～Λ时，Λ由A的n个特征值所构成．只要能求出对角矩阵Λ，根据[*]就可以求出行列式|A+3E|的值．
设λ是矩阵A的任一特征值，α是属于特征值λ的特征向量，即Aα=λα(α≠0)，则
A²α=λ²α．A³α=λ³α．A⁴α=λ⁴α．
于是 (λ⁴+2λ³+λ²+2λ)α=0，α≠0．
即有 λ⁴+2λ³+λ²+2λ=λ(λ+2)(λ²+1)=0．
因为实对称矩阵的特征值必是实数，故A的特征值取自-2与0．那么由r(a)=r，得到
[*]
即矩阵A的特征值是-2(r重)，0(n-r重)．因此A+3E的特征值是1(r重)，3(n-r重)．从而
|A+3E|=3^n-r．

解析：

[*]