（理科做：）已知A（1，1）是椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)上一点，F

问题解答题

（理科做：）已知A（1，1）是椭圆

=1 (a＞b＞0)上一点，F₁、F₂是椭圆的两个焦点，且满足|AF₁|+|AF₂|=4．
（I）求两焦点的坐标；
（II）设点C、D是椭圆上的两点，直线AC、AD的倾斜角互补，直线CD的斜率是否为定值？若是定值，求出其值；若不是定值，则说明理由．

答案

（I）∵|AF₁|+|AF₂|=4，

∴2a=4，∴a=2，

设椭圆方程为

=1，

把（1，1）代入，得

=1，

∴b2=

，

∴c2=4-

，

∴两焦点的坐标F1(-

，0)，F2(

，0)．

（II）设AC：y=k（x-1）+1，

联立

y=k(x-1)+1

y2=1

，

得（1+3k²）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0，

∵A（1，1）在椭圆上，方程有一个根为x_A=1，

∴xC=

3k2-6k-1

3k2+1

，

∵AC与AD的倾斜角互补，

∴AD为：y=-k（x-1）+1，

同理，xD=

3k2+6k-1

3k2+1

，

∵y_C=k（x_C-1）+1，

y_D=-k（x_D-1）+1，

y_C-y_D=k（x_C+x_D）-2k，

∴kCD=

yC-yD

xC-xD

．

故CD的斜率为定值

．