：（1）由题意可得

2a=2 3 e= c a = 3 3 a2=b2+c2

，解得a=

3

，c=1，b=

2

所以椭圆E：

x2

3

+

y2

2

=1．

（2）由（1）可知：椭圆的右准线方程为x=

a2

c

=3，

设P（3，y₀），Q（x₁，y₁），

因为PF₂⊥F₂Q，所以kQF2kPF2=

y0

2

•

y1

x1-1

=

y0y1

2(x1-1)

=-1，

所以-y₁y₀=2（x₁-1）

又因为kPQ•kOQ=

y1

x1

•

y1-y0

x1-3

=

y 21 -y1y0

x 21 -3x1

且

y

21

=2(1-

x 21

3

)代入化简得kPQ•kOQ=-

2

3

．

即直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值-

2

3

．

（3）由（2）知，kPQ•kOQ=-

2

3

，kOQ=

y1

x1

，

∴kPQ=-

2x1

3y1

．

∴直线PQ的方程为y-y1=-

2x1

3y1

(x-x1)，即y=-

2x1

3y1

x+

2

y1

，

联立

x2 3 + y2 2 =1 y=- 2x1 3y1 x+ 2 y1

得(3

y

21

+2

x

21

)x2-12x1x+18-9

y

21

=0，

∵3

y

21

+2

x

21

=6，18-9

y

21

=6

x

21

．

∴化简得：x2-2x1x+

x

21

=0，又△=0，

解得x=x₁，所以直线PQ与椭圆C相切，只有一个交点．