已知抛物线的方程为x2=2py（p＞0），过点P（0，p）的直线l与抛物线相交于A、B两点，分别过点A、B作抛物线的两条切线l1和l2，记l1和l2相交于点M．
（Ⅰ）证明：直线l1和l2的斜率之积为定值；
（Ⅱ）求点M的轨迹方程．
（Ⅰ）依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+p，
将其代入x2=2py，消去y整理得x2-2pkx-2p2=0（2分）
设A，B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2=-2p2（3分）
将抛物线的方程改写为y=x2，求导得y′=x．
所以过点A的切线l1的斜率是k1=，过点B的切线l2的斜率是k2=，
故k1k2==-2，所以直线l1和l2的斜率之积为定值-2（6分）
（Ⅱ）设M（x，y）．因为直线l1的方程为y-y1=k1（x-x1），即y-=(x-x1)，
同理，直线l2的方程为y-=(x-x2)，
联立这两个方程，消去y得-=(x-x2)-(x-x1)，
整理得(x1-x2)(x-)=0，注意到x1≠x2，所以x=（10分）
此时y=+(x-x1)=+(-x1)==-p（12分）
由（Ⅰ）知，x1+x2=2pk，所以x==pk∈R，
所以点M的轨迹方程是：y=-p．（14分）
