问题
解答题
已知直线l：y=kx+b是椭圆C：
（1）过F1，F2作l的垂线，垂足分别为M，N，求|F1M|•|F2M|的值； （2）若直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点，求|AB|的最小值，并求此时直线l的斜率． |
答案
（1）联立方程
得（1+4k2）x2+kbx+4b2-4=0，----------（2分）y=kx+b
+y2=1x2 4
依题意，△=0得b2=4k2+1，----------------------------（4分）
∵F1（-
，0），F2（3
，0）3
|F1M|•|F2M|=
•|
k+b|3 k2+1
=|-
k+b|3 k2+1
=|b2-3k2| k2+1
=1-------------（6分）|4k2+1-3k2| k2+1
（2）∵A（-
，0），B（0，b），b k
∴|AB|=
=
+b2b2 k2
≥3----（9分）
+4k2+51 k2
当且仅当
=4k2，即k=±1 k2
时取等号，2 2
∴|AB|的最小值为3，此时直线l的斜率为±
．--------（12分）2 2