在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等

问题解答题

在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证△ABC为等边三角形．

答案

由A，B，C成等差数列，有2B=A+C（1）

因为A，B，C为△ABC的内角，所以A+B+C=π．

由（1）（2）得B=

．（3）

由a，b，c成等比数列，有b²=ac（4）

由余弦定理及（3），可得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac

再由（4），得a²+c²-ac=ac，

即（a-c）²=0

因此a=c

从而A=C（5）

由（2）（3）（5），得A=B=C=

所以△ABC为等边三角形．