问题
证明题
设数列{an}、{bn}、{cn}满足：bn=an-an+2，cn=an+2an+1+3an+2（n=1，2，3，…），证明：{an}为等差数列的充分必要条件是{cn}为等差数列且bn≤bn+1（n=1，2，3，…）。
答案
解：必要性：设
是公差为d1的等差数列，则
所以
）成立
又
（常数）（n=1，2，3，…），
所以数列
为等差数列；
充分性：设数列
是公差d2的等差数列，且
（n=1，2，3，…）
∵
∴
①-②得
∵
∴
③
从而有
④
④-③得
⑤
∵
由⑤得
由此不妨设
则
（常数）
由此
从而
两式相减得
因此
所以数列
是等差数列。