（I）由题意，可设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），则c=

3

，

c

a

=

3

2

，

所以a=2，b²=a²-c²=1，

所以椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1．

（II）证明：由椭圆C的方程可知，点A₁的坐标为（-2，0），点A₂的坐标为（2，0），

设动点M的坐标为（x₀，y₀），由题意可知0＜x₀＜2，y₀＞0，

直线MA₁的斜率k1=

y0

x0+2

＞0，直线MA₂的斜率k2=

y0

x0-2

＜0，

所以k1k2=

y02

x02-4

，

因为点M（x₀，y₀）在椭圆

x2

4

+y2=1上，

所以

x02

4

+y02=1，即y02=1-

x02

4

，

所以k₁k₂=

1- x02 4

x02-4

=-

1

4

；

（III）设直线MA₁的方程为y=k₁（x+2），令x=0，得y=2k₁，所以点P的坐标为（0，2k₁），

设直线MA₂的方程为y=k₂（x-2），令x=0，得y=-2k₂，所以点Q的坐标为（0，-2k₂），

由椭圆方程可知，点B的坐标为（0，1），

由|PB|=

1

2

|BQ|，得|1-2k1|=

1

2

|-2k2-1|，

由题意，可得1-2k₁=

1

2

（-2k₂-1），

整理得4k₁-2k₂=3，与k₁k₂=-

1

4

联立，消k₁可得2k22+3k₂+1=0，

解得k₂=-1或k2=-

1

2

，

所以直线MA₂的直线方程为y=-（x-2）或y=-

1

2

（x-2），

因为y=-

1

2

（x-2）与椭圆交于上顶点，不符合题意．

把y=-（x-2）代入椭圆方程，得5x²-16x+12=0，

解得x=

6

5

或2，

因为0＜x₀＜2，所以点M的坐标为（

6

5

，

4

5

）．