问题
解答题
已知A，B，C为△ABC的三个内角，向量
（1）求tanA•tanB的值； （2）求C的最大值，并判断此时△ABC的形状． |
答案
（1）∵|
|=a 3 5
，∴5
sin213 5
+cos2A+B 2
=A-B 2 9 5
13 5
+1-cos(A+B) 2
=1+cos(A-B) 2 9 5
∴13cos（A+B）=5cos（A-B）∴4cosAcosB=9sinAsinB，
∵cosAcosB≠0∴tanAtanB=4 9
（2）由tanAtanB=
＞0，4 9
知tanA，tanB＞0，tanA+tanB≥2
=tanAtanB
tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=-4 3
=-tanA+tanB 1-tanAtanB
(tanA+tanB)≤-9 5
×29 5
=-tanAtanB 12 5
当且仅当tanA=tanB，即A=B时，tanC取得最大值-
，12 5
所以C为钝角，△ABC一定是钝角三角形．