问题
解答题
已知曲线C：xy=1，过C上一点A1（x1，y1）作斜率k1的直线，交曲线C于另一点A2（x2，y2），再过A2（x2，y2）作斜率为k2的直线，交曲线C于另一点A3（x3，y3），…，过An（xn，yn）作斜率为kn的直线，交曲线C于另一点An+1（xn+1，yn+1）…，其中x1=1，kn=-
（1）求xn+1与xn的关系式； （2）判断xn与2的大小关系，并证明你的结论； （3）求证：|x1-2|+|x2-2|+…+|xn-2|＜2． |
答案
（1）由已知过An（xn，yn）斜率为-
的直线为y-yn=-xn+1
+4xnx 2n
（x-xn），xn+1
+4xnx 2n
直线交曲线C于另一点An+1（xn+1，yn+1）
所以yn+1-yn=-
（xn+1-xn）（2分）xn+1
+4xnx 2n
即
-1 xn+1
=-1 xn
（xn+1-xn），xn+1-xn≠0，xn+1
+4xnx 2n
所以xn+1=
(n∈N*)（4分）xn+4 xn+1
（2）当n为奇数时，xn＜2；当n为偶数时，xn＞2（5分）
因为xn-2=
-2=-xn-1+4 xn-1+1
，（6分）xn-1-2 xn-1+1
注意到xn＞0，所以xn-2与xn-1-2异号
由于x1=1＜2，所以x2＞2，以此类推，
当n=2k-1（k∈N*）时，xn＜2；
当n=2k（k∈N*）时，xn＞2（8分）
（3）由于xn＞0，xn+1=
=1+xn+4 xn+1
，3 xn+1
所以xn≥1（n=1，2，3，）（9分）
所以|xn+1-2|=|
|=xn-2 xn+1
≤|xn-2| |xn+1|
|xn-2|（10分）1 2
所以|xn-2|≤
|xn-1-2|≤1 2
|xn-2-2|≤…≤1 22
|x1-2|=1 2n-1
（12分）1 2n-1
所以|x1-2|+|x2+2|+…+|xn-2|≤1+
+(1 2
)2+…+(1 2
)n-1=2-(1 2
)n-1＜2（14分）1 2