问题
解答题
| 已知抛物线y2=4x的焦点为F，直线l过点M（4，0）． （Ⅰ）若点F到直线l的距离为
（Ⅱ）设A，B为抛物线上两点，且AB不与x轴重合，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值． |
答案
（Ⅰ）由已知，x=4不合题意．设直线l的方程为y=k（x-4），
由已知，抛物线C的焦点坐标为（1，0），…（1分）
因为点F到直线l的距离为
，3
所以
=|3k| 1+k2
，…（3分）3
解得k=±
，所以直线l的斜率为±2 2
．…（5分）2 2
（Ⅱ）设线段AB中点的坐标为N（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），
因为AB不垂直于x轴，
则直线MN的斜率为
，y0 x0-4
直线AB的斜率为
，…（7分）4-x0 y0
直线AB的方程为y-y0=
(x-x0)，…（8分）4-x0 y0
联立方程y-y0=
(x-x0)4-x0 y0 y2=4x
消去x得(1-
)y2-y0y+x0 4
+x0(x0-4)=0，…（10分）y 20
所以y1+y2=
，…（11分）4y0 4-x0
因为N为AB中点，
所以
=y0，即y1+y2 2
=y0，…（13分）2y0 4-x0
所以x0=2．即线段AB中点的横坐标为定值2．…（14分）
