问题
解答题
抛物线C1：y2=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F1，焦点为F2，以F1、F2为焦点、离心率e=
（1）当m=1时求椭圆的方程； （2）在（1）的条件下，直线L经过椭圆C2的右焦点F2与抛物线L1交于A1，A2两点．如果弦长|A1A2|等于△PF1F2的周长，求直线L的斜率； （3）是否存在实数m，使△PF1F2的边长是连续的自然数． |
答案
（1）m=1时，抛物线C1：y2=4x，焦点为F2 （1，0）． 由于椭圆离心率e=
，c=1，1 2
故 a=2，b=
，故所求的椭圆方程为 3
+x2 4
=1．y2 3
（2）由于△PF1F2周长为 2a+2c=6，故弦长|A1A2|=6，设直线L的斜率为k，则直线L的方程为 y-0=k（x-2），
代入抛物线C1：y2=4x 化简得 k2x2-（4k2+4）x+4k2=0，∴x1+x2= 4+
，x1x2=4，4 k2
∴|A1A2|=
•1+k2
=(x1+x2)2- 4x1x2 1+k2
=6，解得 K=±( 4+
)2-4×44 k2
．2
（3）假设存在实数m，△PF1F2的边长是连续自然数，经分析在△PF1F2中|PF1|最长，|PF2|最短，令|F1F2|=2c=2m，
则|PF1|=2m+1，|PF2|=2m-1． 由抛物线的定义可得|PF2|=2m-1=xP-（-m），∴xP=m-1．
把P(m-1，
)代入椭圆4m(m-1)
+x2 4m2
=1，解得m=3．故存在实数m=3 满足条件．y2 3m2